Perbedaan Antara Angka Rasional dan Irrasional Perbedaan Antara
Istilah "angka" membawa ke pikiran kita yang umumnya tergolong nilai integer positif lebih besar dari nol. Kelas angka yang lain termasuk angka keseluruhan dan pecahan , bilangan asli kompleks dan dan juga bilangan bulat negatif .
Memperluas klasifikasi angka lebih jauh, kita menemukan nomor rasional dan irasional . Nomor rasional adalah angka yang bisa ditulis sebagai pecahan. Dengan kata lain, bilangan rasional bisa ditulis sebagai rasio dua angka.
Perhatikan, misalnya, nomor 6 . Hal itu bisa ditulis sebagai rasionya dua angka yaitu. 6 dan 1 , yang menghasilkan rasio 6/1 . Demikian juga, 2/3 , yang ditulis sebagai pecahan, adalah bilangan rasional.
Kita dapat, dengan demikian, menentukan bilangan rasional, sebagai angka yang ditulis dalam bentuk pecahan, dimana pembilang (nomor di atas) dan penyebut (angka di bagian bawah) adalah bilangan bulat. Dengan definisi, oleh karena itu, setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan rasional.
Rasio dua bilangan besar seperti ( 129, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) juga merupakan contoh bilangan rasional karena alasan sederhana bahwa pembilang dan penyebut adalah bilangan bulat.
Sebaliknya, jumlah yang tidak dapat diekspresikan dalam bentuk pecahan atau rasio disebut tidak rasional. Contoh yang paling sering dikutip dari bilangan irasional adalah √ 2 ( 1 414213 …) . Contoh lain yang populer dari bilangan irasional adalah konstanta numerik π ( 3 141592 … ) .
Nomor irasional dapat ditulis sebagai desimal, tapi tidak sebagai pecahan. Angka irasional tidak sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari meski jumlahnya ada di nomor telepon. Ada sejumlah angka irasional yang tidak terbatas antara 0 dan 1 pada baris nomor. Angka irasional memiliki digit non-berulang yang tak berujung di sebelah kanan titik desimal.
Perhatikan bahwa nilai yang sering dikutip dari 22/7 karena konstanta π sebenarnya hanya satu dari nilai π >. Menurut definisi, keliling lingkaran dibagi dua kali radiusnya adalah nilai π. Hal ini menyebabkan beberapa nilai π , termasuk, namun tidak terbatas pada, 333/106, 355/113 dan seterusnya1. Hanya akar kuadrat dari bilangan bujur sangkar; saya. e., akar kuadrat dari kotak
yang sempurna itu rasional. - 99 ->
√1= 1 (Rasional) √2
(Irrational) √3
(Irrational) √4 < = 2
(Rasional) √5, √6, √7, √8 (Irrational)
√9 = 3
(Rasional) dan seterusnya. Selanjutnya, kami mencatat bahwa, hanya akar n
dari kekuatan n yang rasional. Jadi, akar 6 itu rasional, karena 64 adalah kekuatan 6 , yaitu 6 kekuatan 2 . Tapi akar 6 tidak rasional. 63 bukanlah kekuatan sempurna 6 th .
(seperti pada 1/5
= 0. 20) atau tidak sesuai (seperti dalam, 1/3 ≈ 0 3333 ). Dalam kedua kasus tersebut, akan ada pola digit yang dapat diprediksi. Perhatikan bahwa ketika angka irasional dinyatakan sebagai desimal, maka jelas itu akan menjadi tidak tepat, karena jika tidak, jumlahnya akan menjadi rasional. Selain itu, tidak akan ada pola digit yang dapat diprediksi. Misalnya, √2 ≈ 1. 4142135623730950488016887242097 Sekarang, dengan bilangan rasional, kita sesekali bertemu 1/11 = 0. 0909090 .
Penggunaan kedua tanda sama ( = ) dan tiga titik (
elipsis ) menyiratkan bahwa meskipun tidak mungkin untuk mengekspresikan 1/11
sama persis Sebagai desimal, kita masih bisa memperkirakannya dengan angka desimal sebanyak yang diizinkan mendekati 1/11 . Dengan demikian, bentuk desimal 1/11 dianggap tidak tepat. Dengan cara yang sama, bentuk desimal ¼ adalah 0,25, tepat. Datang ke bentuk desimal untuk bilangan irasional, mereka akan selalu tidak tepat. Melanjutkan dengan contoh
√ 2 , ketika kita menulis √2 = 1. 41421356237 … (perhatikan penggunaan elipsis), segera menyiratkan bahwa tidak ada desimal untuk > √2
akan tepat. Selanjutnya, tidak akan ada pola digit yang dapat diprediksi. Dengan menggunakan konsep dari metode numerik, sekali lagi, secara rasional kita dapat memperkirakan jumlah digit desimal sampai titik tersebut mendekati kita √2 . Catatan tentang bilangan rasional dan irasional tidak dapat diakhiri tanpa bukti wajib mengapa √2 tidak rasional. Dengan demikian, kami juga menjelaskan, contoh klasik dari bukti dengan radikal . Misalkan √2 adalah rasional. Hal ini membawa kita untuk mewakilinya sebagai perbandingan dua bilangan bulat, katakan p dan
q . √2 = p / q
Tak perlu dikatakan,p dan q tidak memiliki faktor umum, karena jika ada faktor umum, kita akan membatalkan mereka keluar dari pembilang dan penyebutnya. Mengasangkan kedua sisi persamaan, kita berakhir dengan,
2 = p 2 / q 2 Ini dapat ditulis dengan mudah, p
2= 2q > 2 Persamaan terakhir menunjukkan bahwa p 2
genap. Ini mungkin hanya jika
p itu sendiri. Hal ini pada gilirannya menyiratkan bahwa p 2
dapat dibagi oleh 4 . Oleh karena itu, q 2 dan akibatnya q harus genap.Jadi, p dan q keduanya merupakan kontradiksi dengan asumsi awal bahwa mereka tidak memiliki faktor umum. Jadi, √2 tidak bisa rasional. P. E. D.
